$$\begin{align} e^{x}&=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}\\ e^{-x}&=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{(-x)^n}{n!}\\ e^x-e^{-x}&=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{2x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ \operatorname{sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2&=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\end{align}$$